共有 8 个球，其中 1 个重量异常，最少称几次可以找到它？

张开发
• 2026/4/16 14:32:04 • 15 分钟阅读

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共有 8 个球，其中 1 个重量异常，最少称几次可以找到它？
至少需要称3 次。下面是具体的称量步骤和推理过程。问题分析共有888个球其中111个重量异常可能轻或重其余777个重量相同。天平称重每次有三种可能结果左重、平衡、右重。总共有8×2168 \times 2 168×216种可能性哪个球异常是轻还是重。333次称量最多有33273^3 273327种结果理论上可行222次只有3293^2 9329种结果不足以区分161616种情况因此至少需要333次。称量策略将球编号为 ① 至 ⑧按以下步骤操作。第一次称量左盘①、②、③右盘④、⑤、⑥剩余⑦、⑧观察天平状态平衡说明异常球在 ⑦ 和 ⑧ 中且 ①–⑥ 均为正常球。不平衡假设左盘重右盘重的情况对称处理则异常球在 ①–⑥ 中且如果异常球在左盘①、②、③则偏重在右盘④、⑤、⑥则偏轻⑦、⑧ 正常。情况一第一次平衡此时异常球为 ⑦ 或 ⑧。第二次称量左盘①正常球右盘⑦可能结果平衡说明 ⑦ 正常则 ⑧ 异常。第三次称量用 ①正常与 ⑧ 比较即可知 ⑧ 是轻还是重。不平衡直接可知 ⑦ 异常且根据倾斜方向可知 ⑦ 是轻还是重因为 ① 是正常球。无需第三次称量即可完成但最坏情况仍需三次。情况二第一次不平衡假设左盘重此时异常球在 ①–⑥ 中且可能为①、②、③ 之一偏重或 ④、⑤、⑥ 之一偏轻。第二次称量左盘①、②、④右盘③、⑤、⑦⑦ 是正常球可能结果平衡说明参与称量的球均正常则未称量的 ⑥ 异常。结合第一次左盘重可知 ⑥ 偏轻因为它在第一次的轻盘中。左盘重说明左盘有重球或右盘有轻球。可能情况① 或 ② 偏重导致左盘重⑤ 偏轻导致右盘轻左盘相对重第三次称量比较 ① 和 ②。若不平衡重者为异常球偏重。若平衡则 ⑤ 异常且偏轻。右盘重说明左盘有轻球或右盘有重球。可能情况④ 偏轻在左盘使左盘轻③ 偏重在右盘使右盘重第三次称量用 ③ 与正常球如 ⑦比较。若 ③ 重则 ③ 异常且偏重。若平衡则 ④ 异常且偏轻。情况三第一次不平衡右盘重与情况二对称只需将球编号互换即可类似处理。总结通过以上策略无论哪种情况都能够在最多333次称量后确定异常球及其轻重。因此至少需要称333次才能保证找到。

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